Paradoksid

Tõenäosusteoorias on tundud sünnipäeva paradoks. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud n liikmega hulgas on mõni paar, kellel on samal päeval sünnipäev. Fakt on see, et kui inimeste hulk on 367, siis on tõenäosus 100% (sest aastas on maksimaalselt 366 päeva). Kuid 99% tõenäosus saavutatakse juba 57 inimeselises hulgas ja fifty-fifty ehk 50% tõenäosus grupis, kus on vaid 23 inimest!  Loomulikult põhinevad need väited eeldusele, et igal päeval aastas on võrdne võimalus olla sünnipäevaks (sh 29 veebruar).

http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

Kuidas arvutada välja nimetatud tõenäosus?

---


Kolm vangi A, B ja C on eraldi kambrites ja nad on mõistetud surma. Kuberner valis vangidest juhuslikult ühe, kellele ta otsustas anda armu. Vangivalvur teab, kellele on amu antud, kuid tal ei ole lubatud seda öelda.
Vang A anub valvurit saamaks teada ühe hukatava nime: "Kui armu anti B-le, siis ütle mulle C nimi. Kui armu anti C-le, siis ütle mulle B nimi. Kui armu anti mulle, siis viska münti ning ütle mulle juhuslikult B või C."
Valvur ütleb, et hukatakse B.
Vang A on õnnelik, sest ta usub, et tõenäosus ellu jääda on tõusnud 1/3-lt 1/2-le, sest on ju järgi jäänud vaid tema ja C. Salaja räägib uudist A ka teisele vangile, C-le. Ka tema rõõmustab, sest arvestades, et A võimalused ellu jääda on 1/3, on tema oma 2/3st. Kas see on õige? Mis on tegelikult?

---
Monty Hall'i paradoks. Monty Hall oli USAs populaarse telesaate "Let's Make a Deal" saatejuht. Sellest saatest tuletati üks tõenäosusteooria alane ülesanne, mis oma paradoksaalsusega USAs  suuri kirgi küttis - isegi väga lugupeetavad professorid pidasid õigeks valet lahendust ja ei olnud oma seisukoha kaitsmisel "komplimentidega" kitsid.

Ülesanne ise on järgmine. Oletame, et osaled teleshows "Võida auto!". Oled jõudnud finaali ning sul on võimalus võita sportauto - on kolm kinnist ust, ühe taga on sportauto, kahe ukse taga on eesel.

Sa valid ukse number kaks. Saatejuht avab ukse number kolm, mille taga on eesel (ta teab auto asukohta ning peab avama eesliga ukse). Vastavalt mängu reeglitele peab ta sulle pakkuma võimalust muuta ümber oma esialgne valik (mis oli number kaks).

Kas tasub vahetada?

Paradoksaalseks teeb selle ülesande see, et esmapilgul tundub, et vahetamine ei anna meile mingit tõenäosuslikku eelist, kuid kainelt arvudega mõeldes tuleks siiski vahetada. Miks?

---

Vaata veel: http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Probability_theory_paradoxes